§ 9. Clifford Algebra
§ 9. Algèbres de Clifford
In this paragraph, we will assume the ring $A$ to be commutative. We will designate by Q a quadratic form over the $A$-module $E$, and by $\Phi$ the associated bilinear form (§ 3, $n^{\circ}$ 4).
Dans ce paragraphe, nous supposerons l'anneau $A$ commutatif. Nous désignerons par Q une forme quadratique sur le $A$-module $E$, et par $\Phi$ la forme bilinéaire associée (§ 3, $n^{\circ}$ 4).
讨论：这里提到的 § 3, $n^{\circ}$ 4 是本册 § 3. Formes hermitiennes et formes quadratiques的4. Formes quadratiques ，即讲二次型的章节。
1. Definition and universal property of Clifford Algebra
- Définition et propriété universelle de l'algèbre de Clifford.
Definition 1. - We call Clifford algebra of $Q$ (noted $C(Q)$) the quotient of the tensor algebra $T(E)$ of the module $E$ by the two-sided ideal (noted $I(Q)$) generated by the elements of the form $x \otimes x - Q(x) . 1 \quad (x \in E)$.
Définition 1. - On appelle algèbre de Clifford de $Q$ et on note $C(Q)$ l'algèbre quotient de l'algèbre tensorielle $T(E)$ du module $E$ par l'idéal bilatère (noté $I(Q)$) engendré par les éléments de la forme $x \otimes x - Q(x) . 1 \quad (x \in E)$.
讨论：
这里的Clifford代数是构造的定义，而不是基于公理的定义。现在通常是先按公理定义Clifford代数，然后再用构造来证明其存在。参见如PG course on Spin Geometry - Lecture 1: Clifford algebras: basic notions。
Clifford代数是一个商代数，是在二次型 $Q$ 对应的张量代数中，对所有的$x \in E$，将 $x \otimes x$ 和 $Q(x) . 1$ 视为等价 （参考The Quotient Algebra of an Algebra X Modulo a Two-Sided Ideal J），构造而成。
这个定义用文字写出来比较费劲，用公式就是简单地：
$$ T(E)=\sum_{r=0}^{\infty} \otimes^{r} E $$
$$ I_{\tiny Q}(E) = { x \otimes x - Q(x) . 1 : x \in E } $$
$$ C(Q) \equiv T(E) / I_{\tiny Q}(E) $$
如果我们使用更熟悉的、惯例表示向量空间的$V$，而非Bourbaki用来表示模的$E$，也使用更熟悉的$\mathcal{C} l(V, Q)$而非$C(Q)$来表示Clifford代数，再按惯例用上Mathematical Calligraphic Font，则它们变成：
$$ \mathcal{T}(V)=\sum_{r=0}^{\infty} \otimes^{r} V $$
$$ \mathcal{I}_{Q}(V) = { x \otimes x - Q(x) . 1 : x \in V } $$
$$ \mathcal{C} l(V, Q) \equiv \mathcal{T}(V) / \mathcal{I}_{Q}(V) $$
这样看是不是眼熟多了？读Bourbaki的主要心智负担之一是要去熟悉古老的符号惯例。
这里的乘法用了.，为了保持原貌不做改动。
We will note $\rho_{\tiny Q}$ (or simply $\rho$ when there's no confusion) the mapping of $E$ into $C(Q)$ composed of the canonical mapping of $E$ into $T(E)$ and of the canonical mapping $\sigma$ of $T(E)$ onto $C(Q)$; the mapping $\rho_{\tiny Q}$ is said to be canonical .
Nous noterons $\rho_{e}$ (ou simplement $\rho$ quand aucune confusion n'est à craindre) l'application de E dans $C(Q)$ composée de l'application canonique de $E$ dans $T(E)$ et de l'application canonique $\sigma$ de $T(E)$ sur $C(Q)$; l'application $\rho_{\tiny Q}$ est dite canonique .
讨论：文字表达比较啰嗦，简单公式化即是：
$$ \tau : E \to T(E) $$
$$ \sigma: T(E) \to C(Q) $$
$$ \rho_{\tiny Q}: E \to C(Q) $$
$$ \rho_{\tiny Q} = \sigma \circ \tau $$
这里的几个典范（“自然”）映射非常关键。在Geometric Algebra中，把这几个概念基本上是等同处理的，在直觉上问题也不大，可以感觉为同一实体有了更丰富的内涵。但一到formalization时，这些概念就必须拎清楚，作为不同的实体来处理，通过它们之间的映射来理解实际上发生了什么。
译注：这里的dans(into)、sur(onto)有点奇怪，不明白为什么不是一致地使用其中一个。
Note that $C(Q)$ is generated by $\rho_{\tiny Q}(E),$ and that, for $x \in E,$ we have
(1) $\rho(x)^{2}=Q(x) . 1$;
hence, replacing $x$ by $x+y$ ( $x, y$ in $E$):
(2) $\rho(x) \rho(y)+\rho(y) \rho(x)=\Phi(x, y) . 1$.
Remarquons que $C(Q)$ est engendrée par $\rho_{\tiny Q}(E),$ et que, pour $x \in E,$ on a
(1) $\rho(x)^{2}=Q(x) . 1$;
d'où, en remplaçant $x$ par $x+y$ ( $x, y$ dans $E$).
(2) $\rho(x) \rho(y)+\rho(y) \rho(x)=\Phi(x, y) . 1$
讨论：这时就是用映射来分析Clifford代数中赖以生成的等价关系。
$\rho$这个映射是显式的，但在式1等号的右侧，先是发生了从$x$所在的模，到标量域的映射，然后再从标量域通过乘以幺元，映射到了含幺元的结合代数（简称代数）里。
乘以幺元表面看显式体现了部分隐藏的内涵，有助于formalization中更清晰的处理。但实际上，正常而言要有代数的乘法，乘号两边先得处于同一个代数当中，所以这里的乘法不是代数里的乘法，而是代数里的标量乘法，结果背后还是有映射甚至有环同态，于是，看似数学上简单的处理，反而引入更多复杂的要素，不如回归到两个映射上。
Example: If $E$ admits a base composed of a single element $e$, $T(E)$ is isomorphic to the polynomial algebra $A[X]$, and $C(Q)$ is a quadratic extension of $A$, based on $(1, u)$, where $u$ is the element $u=\rho(e)$ and satisfies $u^{2}=Q(e)$.
Exemple. Si $E$ admet une base composée d'un seul élément $e$, $T(E)$ est isomorphe à l'algèbre de polynômes $A[X],$ et $C(Q)$ est une extension quadratique de A, ayant pour base $(1, u)$, où $u$ est l'élément $u=\rho(e)$ et vérifie $u^{2}=Q(e)$.
译注：
这里我稍微纠结了一下是否应该用"A admits B"，还是更平易的“A has B”，或是更常见的“there exists A with B”的表达。搜索后在这里发现：
When you say "A admits χ", you're asserting that a χ-enriched A-structure exists; when you say "A has χ", you're saying that A is a χ-enriched structure.
所以就继续用“admits”了。
“vérifie”也有些纠结，直译“checks”在语境中意义表达不明确，最后感觉“satisfy”比较合语境。
We note $T^{h}$ the $h$-th tensor power $\bigotimes\limits^{h} E$ in $T(E)$, and $T^{+}$ (resp. $T^{-}$ ) being the sum of the $T^{h}$ for even (resp. odd) number of $h$.
Notons $T^{h}$ la puissance tensorielle $h$-ème $\bigotimes\limits^{h} E$ dans $T(E),$ et soit $T^{+}$ (resp. $T^{-}$ ) la somme des $T^{h}$ pour $h$ pair (resp. impair).
Since $T(E)$ is a direct sum of $T^{+}$ and $T^{-}$ and $I(Q)$ is generated by elements of $T^{+}$, $I(Q)$ is a direct sum of $T^{+} \cap I(Q)$ and $T^{-} \cap I(Q)$, and $C(Q)$ is the direct sum of the two submodules $C^{+}(Q)=\sigma\left(T^{+}\right)$ and $C^{- }(Q)=\sigma\left(T^{-}\right)$ (also noted $C^{+}$ and $\left. C^{-}\right)$. The elements of $C^{+}$ are called even (resp. odd).
Comme $T(E)$ est somme directe de $T^{+}$ et $T^{-}$ et que $I(Q)$ est engendré par des éléments de $T^{+}$, $I(Q)$ est somme directe de $T^{+} \cap I(Q)$ et $T^{-} \cap I(Q)$, et $C(Q)$ est somme directe des deux sous-modules $C^{+}(Q)=\sigma\left(T^{+}\right)$ et $C^{-}(Q)=\sigma\left(T^{-}\right)$ (que l'on note aussi $C^{+}$ et $\left.C^{-}\right) .$ Les éléments de $C^{+}$ seront dits pairs (resp. impairs).
We have the relations
(3) $C^{+} C^{+} \subset C^{+}, \quad C^{+} C^{-} \subset C^{-}, \quad C^{-} C^{+} \subset C^{-}, \quad C^{-} C^{-} \subset C^{+}$
In particular $C^{+}$ is a subalgebra of $C(Q)$.
On a les relations
(3) $C^{+} C^{+} \subset C^{+}, \quad C^{+} C^{-} \subset C^{-}, \quad C^{-} C^{+} \subset C^{-}, \quad C^{-} C^{-} \subset C^{+}$
En particulier $C^{+}$ est une sous-algèbre de $C(Q)$.
（持续更新，目前完成该节的一页多，大约1/3）
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