第一部分 Electromagnetism
第一章 Maxwell's Equations
通过引入复值向量场$ E+iB $，利用Maxwell方程中的duality将其化为两个方程，再展开回Maxwell方程的常见形式。
分析了Maxwell方程的Lorentz不变性，指出在本部分结束时，我们能够意识到Maxwell方程其实可以写成：
$$ dF=0 $$
$$ *d*F=J $$
第二章 Manifolds
本章意在以坐标无关的方式介绍流形。
以开集、拓扑空间、领域等概念开场，介绍了$ chart $这种能够把拓扑空间映射为$ \mathbb{R}^n $的东西，从而定义了$ n $维流形。
从而自然也就可以把定义在$ n $维流形上的函数$ f $，通过$ f \rightarrow f \cdot chart^{-1} $的方式，变成了在$ \mathbb{R}^n $上定义的函数。
稍微讨论了一下流形的连续和光滑。
$ \mathbb{C}^{\infty}(M) $ 表示流形$ M $上的光滑实值函数的集合。
第三章 Vector Fields
第一小节 向量场
这一小节革新了我们对向量场的传统观念。
不再把向量视为具有大小和方向的箭头，而视为在其方向上的对任意$ f $的方向导数，即$ v = v^\mu \partial_\mu $。
进一步抽象地将流形$ M $上的向量场$ v $定义为：
$$ v: \mathbb{C}^{\infty}(M) \rightarrow \mathbb{C}^{\infty}(M) $$
并且满足线性法则以及Leibniz法则:
$$ v (f + g) = vf + vg $$
$$ v (\alpha f) = \alpha vf $$
$$ v(fg) = v(f) g + f v(g) $$
并定义了向量场的和与积。
随后证明了 $ \\{ \partial_\mu \\} $ 形成$ Vect(\mathbb{R}^n) $的一组基，也即任意$ v $都可以唯一地表示为$ v^\mu \partial_\mu $的形式，。
综上，我们意识到了向量场的方向导数本质，并回归了向量的分量定义。
$ Vect(M) $，表示$ M $上所有向量场的集合。
$ v $在点$ p $，定义了切向量。点$ p $的所有的切向量组成$ T_p M $。
$ \gamma : \mathbb{R} \rightarrow M $，定义了曲线。
第二小节 逆变和协变
我稍微滥用一下定义域这个词来解释：
如果有微分同胚（diffeomorphism）$ \phi: M \rightarrow N $，另有$ f : N \rightarrow \mathbb{R} $，那么：$ f \phi ： M \rightarrow \mathbb{R} $。
如果我们定义 $ \phi^* f = f \phi $，那么$ \phi^* $就是一种把一个定义域在$ N $的函数$ f $“拉回（pullback）”定义域$ M $的操作。
我们称实值函数$ f $具有逆变（contravariant）的性质，因为它在拉回操作下保持了同样的行为。
那么再给出“推前（pushforward）”定义：
$$ (\phi_* v)f = v ( \phi^* f ) $$
其中，$ f: N \rightarrow \mathbb{R}， v: \mathbb{C}^{\infty}(M) \rightarrow \mathbb{C}^{\infty}(M) $。
注意看：
右边是通过先把$ f $从定义域$ N $拉回到$ M $，然后将向量场作用其上。
左边是通过先把向量场从$ M $推前到$ N $，然后将其作用在$ f $上。
我们称切向量场具备协变（covariant）的性质，因为它在推前操作下保持了同样的行为。
以下是我画的一个帮助理解的示意图：
第三小节 流和李括号
顺着$ v $，我们可以得到积分曲线$ \gamma $。想象一个点顺着$ \gamma $流动，在时间$ t $我们就得到了这么一个映射：
$$ \phi_t : M \rightarrow M $$
$ \{\phi_t \} $也就成为了$ v $生成的流。
李括号其实很像柏松括号，或者说算符的互易子。
$$ [v, w] = v w - w v $$
李括号也就表征了“先顺$ v $流再顺$ w $流的流”与“先顺$ w $流再顺$ v $流的流”之间不可互易的程度。
第四章 Differential Forms
第一小节 1-形式
向量场是倒腾函数的，1-形式则是把向量场倒腾成另外的函数。
$$ \omega： Vect(M) \rightarrow \mathbb{C}^{\infty}(M) $$
同样需要满足线性法则：
$$ \omega（v + w）= \omega v + \omega w $$
$$ \omega (g v ) = g \omega ( v ) $$
注意，这里从向量场定义里的数乘变成了函乘。
同样，很容易定义1-形式的和与函积。
$ \Omega^1(M) $表示M上的所有1-形式的集合。
定义一种特殊的1-形式——外微分$ df $：
$$ df(v) = v f $$
接下来通过对 $ d \sin x = \cos x dx $ 两边的分别变形，在外微分的语境下，阐释了微分形式不变形的真谛。
$ \{ dx^\mu \} $ 形成 1-形式在$ \mathbb{R}^n $上的一组基。
于是可以定义：
$$ \omega_\mu = w(\partial_\mu) $$
得到：
$$ \omega = \omega_\mu dx^\mu $$
这样1-形式也被我们展开成了分量形式。
第二小节 余切向量
于是我们很自然得到了余切向量：
$$ \omega_p(v_p) = \omega(v)(p) $$
点$ p $的所有余切向量组成$ T^*_p M $。
余切向量是逆变的。
第三小节 坐标变换
以上的讨论都是不涉及具体坐标的。
在不同的坐标选择之间，如何变换？
$$ \partial_\mu = T^\upsilon_\mu \partial'_\upsilon $$
很容易推得：
$$ T^\upsilon_\mu = \partial x'^\upsilon / \partial x^\mu $$
而且这个变换关系也适用在向量场和1-形式上：
$$ v'^\upsilon = T^\upsilon_\mu v^\mu $$
$$ \omega'^\upsilon = \omega^\upsilon_\mu \omega^\mu $$
第四小节 p-形式
通过定义 只需满足
$$ w \wedge v = - v \wedge w $$
的外代数 $ \wedge $。
这个代数构成了$ \wedge V $。
严格的代数规则见书中，其中这个反交换规则是不包含在内的，而是作为一个自然的推论。
我们定义p-形式为“p个1-形式的$ \wedge V $乘”的线性组合。
一般情况下，p-形式具有如下的形式：
$$ 1/(p!) \omega_1...p dx^1 \wedge ... \wedge dx^p $$
$ v\wedge w $和$ u \wedge v \wedge w $我们得到了类似叉乘$ v × w $和三乘 $ u \cdot (v × w) $的结果，区别在于，叉乘的结果是向量， 三乘的结果是标量，而这里的结果分别是2-形式和3-形式。
在这个过程中，我们发现叉乘的右手规则，其实是不必要的，唯有当我们企图把一个2-形式映射为一个1-形式的时候，才会涉及到手性。
第五小节 外微分
我们定义严格的外微分：
$$ d: \omega^p（M）\rightarrow \omega^{p+1}(M) $$
- $ p $从$ 0 \rightarrow 1 $的定义还是基于之前的外微分定义；
- 满足线性规则
- $ d(\omega \wedge\mu) = d\omega\wedge\mu + (-1)^p \omega\wedge d\mu $。
- $ d^2 \omega = 0 $。
于是我们看得很清楚，在$ \mathbb{R}^3 $中
- $ \operatorname{grad} $是$ p $从$ 0 \rightarrow 1 $
- $ \operatorname{curl} $是$ p $从$ 1 \rightarrow 2 $
- $ \operatorname{div} $是$ p $从$ 2 \rightarrow 3 $
第五章 Rewriting Maxwell's Equations
第一小节 第一对方程
目的：将
$$ \nabla \cdot B = 0 $$
$$ \nabla \times E + \partial_t B = 0 $$
推广到任意流形。
首先把B作为2-形式处理：
$$ B = B_x dy \wedge dz + B_y dz \wedge dx + B_z dx \wedge dy $$
E作为1-形式处理：
$$ E = E_x dx + E_y dy + E_z dz $$
定义统一电磁场$ F $为$ \mathbb{R}^4 $上的2-形式：
$$ F = B + E \wedge dt $$
$$ F = \frac{1}{2} F_{\mu\upsilon} dx^\mu \wedge dx^\upsilon $$
其分量组成一个反对称的矩阵，见书中。
第一对方程可以简单地写成：
$$ dF = 0 $$
通过将其拆成类空部分和类时部分，不难重新推导出第一对方程。
但这个方程的普遍性不仅仅适用于可以将流形M拆成$ \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 $的情形。
注意：我们通常概念意义上的电场和磁场，则只有在可以将流形M拆成$ \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 $的情形下，才有定义。
第二小节 度规
第一对方程，并不涉及度规。它们是普遍协变的，也就是无论怎么伸缩扭曲时空的微分同胚，都可以用其push back得到对应的解。
度规是一种广义的距离，或者说间距。
定义向量空间V上的度规g为：
$$ g: V \times V \rightarrow \mathbb{R} $$
满足：
双线性条件：
$$ g(cv + v', w) = c g(v, w) + g(v', w) $$
$$ g(v, cw + w') = c g(v, w) + g(v, w') $$
可交换：
$$ g(v, w) = g (w, v) $$
非退化：
$$ \forall w \in V [ g(v, w) = 0 ] \Rightarrow v = 0 $$
有了度规，可以选取一组正交的基：$ \{ e_\mu \} $
正交，也就是满足：
$$
g(e_\mu, e_\upsilon) = \begin{cases}
0 & \text{当} \mu = \upsilon \cr
±1 & \text{当} \mu \neq \upsilon
\end{cases}
$$
$ Signature(p, q) $：$ q $是正交基中-1的数目。$ p+q=n $
对 $ \gamma : [0,1] \rightarrow M $定义弧长（类空时）或原时（类时时）：
$$\int \sqrt{g(\gamma'(t), \gamma'(t))} dt $$
$$ g_{\mu\upsilon} = g(e_\mu, e_\upsilon) $$
$$ g^{\mu\upsilon} = g_{\mu\upsilon}^{-1} $$
度规的指标升降不在此赘述。
定义1-形式的内积：
$$ <\omega, \mu> = g^{\alpha\beta} \omega_\alpha \mu_\beta $$
再定义 p-形式的内积：
$$ < e^1 \wedge ... \wedge e^p, f^1 \wedge ... \wedge f^p > = \det [ < e^i, f^j >] $$
第三小节 体积形式
给定V的两组基： $ \\{ e_\mu \\} $， $ \\{ f_\mu \\} $
有映射 $ T : V \rightarrow V $，使得：
$$ T e_\mu = f_\mu $$
如果，$ \det T > 0 $，我们说，这两组基，具有相同的取向。
定义体积元为
$$ e_1 \wedge ... \wedge e_n $$
，它是 $ \wedge^n V $ 中的非零元素。
设另一组基 $ f_\upsilon = T^\mu_\upsilon e_\mu $ ，则得到：
$$ f_1 \wedge ... \wedge f_n = (T^i_1 e_i) \wedge ... \wedge ( T^i_n e_i) = sign(\sigma) T^\sigma(1)_1 ... T^\sigma(1)_1 e_1 \wedge ... \wedge e_n = \det T e_1 \wedge ... \wedge e_n $$
其中$ \sigma $是一组1..n的全排列/全置换，$ sign(\sigma) $则是n维的Levi-Civita符号，详见维基百科。
定义M上的体积形式$ \omega $为无处消失的n-形式，其标准形式为：
$$ \omega = dx^1 \wedge ... \wedge x^n $$
对于每一个点，$ \omega_p $都是$ T^*_p M $的一个体积元。
从上面可以看出，体积形式和基的取向密切相关，实际上，如果体积形式不存在，流形是不可取向的。比如在Mobius strip上，无法选定一组光滑变化的基。
若有取向的$chart$ $ \phi_\alpha : U_\alpha \rightarrow \mathbb{R}^n $ 覆盖 $ M $ ，则
$$ g_{\mu\upsilon} = g(\partial_\mu, \partial_\upsilon) $$
而体积形式的正则形式为：
$$ vol = \sqrt{|\det g|} dx^1 \wedge ... \wedge x^n $$
这个形式的体积形式，将不受$ chart $选择的变化的影响，保持不变。证明见书。
第四小节 Hodge Star Operator（星算符？）
可以参考：http://planetmath.org/encyclopedia/HodgeStarOperator.html
面元到面元的映射：
$$ * : \omega^p（M）\rightarrow \omega^{n-p} (M) $$
满足：
$$ \forall \omega, \mu \in \omega^p（M）：\omega \wedge * \mu = <\omega, \mu> vol $$
从此定义，不难推算出落实到按基的Hodge Star Operator的计算方法。详细见书中习题。
第五小节 第二对方程
不难看出第二对方程和第一对方程在做了如下变换之后非常相似，只剩下右侧的区别：
$$ E \rightarrow -B, B \rightarrow E $$
也不难算出， $ *F $正好起了类似的效果。
定义
电流密度
$$ j = j_i dx^i $$
在加上电荷成分，定义 current
$$ J = j - \rho dt $$
按同样的把戏，不难验算第二对方程可以写成：
$$ *d*F=J $$
根据上一节，我们知道：在$ \mathbb{R}^4 $上，$ ** = ±1 $
当$ **=1 $时，也就是当流形是黎曼的时候，书中讨论了2-形式的self-dual和anti-self-dual。
书中还讨论了maxwell方程在真空中的解。